Temelje geometrije, ki se še danes poučuje v šolah, je zapisal Evklid v svoji knjigi Elementi pred več kot 2000 leti. V njej je opredelil osnovne geometrijske pojme, kot so točka, daljica, premica, koti, geometrijski liki in mnogokotniki, ter zapisal pravila in postulate, ki predstavljajo temelj celotne geometrije. Posebno zanimiv je peti postulat o vzporednicah, ki je stoletja buril duhove matematikov in kasneje pripeljal do razvoja povsem novih, neevklidskih geometrij.

Znameniti peti postulat pravi, da v primeru, da imamo premico in točko v ravnini, potem obstaja natanko ena vzporednica k premici, ki gre skozi to točko. Lahko pa ta peti postulat povemo še drugače: vsota notranjih kotov trikotnika je natančno 180⁰. Ker je obseg kroga 2π, je polovica kroga natanko π radianov oziroma 180⁰. Ker je π število, ki ima neskončno neurejenih decimalnih mest, se vse zelo zaplete. Evklidska geometrija zahteva neskončno natančnost, ki je v našem končnem vesolju ni mogoče zagotoviti. Ko se računa s približki, v našem vesolju prihaja do zaokrožanja. Za zaokrožanje veljajo natančna pravila. Evklidska geometrija z neskončno natančnostjo in števili z neskončno decimalkami lahko torej velja le v matematičnem vesolju.

Katera geometrija torej velja v našem končnem vesolju? Poleg evklidske geometrije obstajata tudi hiperbolična geometrija in eliptična geometrija, vsaka z svojimi značilnostmi. Znanstveniki so odkrili, da je snov tista, ki naredi in oblikuje prostor. Od povprečne gostote snovi v vesolju je torej odvisno, kakšna geometrija vlada v našem vesolju. Primerjajmo vse tri geometrije!

Evklidsko geometrijo torej določa znameniti peti postulat, ki pravi, da v primeru, da imamo premico in točko v ravnini, potem obstaja natanko ena vzporednica k premici, ki gre skozi to točko. Premici, ki imata skupno pravokotnico:

• sta v hiperbolični geometriji vzporedni (se ne sekata) in se oddaljujeta druga od druge, 
• sta v evklidski geometriji vzporedni in stalno enako oddaljeni ena od druge,
• se v eliptični geometriji približujeta in tudi sekata.

Naj opomnim, da so premice seveda v vseh geometrijah ravne. Vprašanje je, kaj se v veliki oddaljenosti oziroma v neskončnosti dogaja pri dveh vzporednicah. Na sliki so prikazane kot ukrivljene zgolj zato, da bi lahko ponazorili oddaljevanje oziroma približevanje.

Pri hiperbolični geometriji lahko odkrijemo še nekaj zanimivih ugotovitev: vsota kotov v poljubnem trikotniku je manjša od 180⁰. Vzporednice niso povsod enako oddaljene druga od druge. Zato skozi dano točko T, ki ne leži na premici p, poteka več kot ena vzporednica k premici p. Razmerje med obsegom kroga in polmerom je večje od π

Pri eliptični geometriji lahko odkrijemo te lastnosti: vzporednic ni. Premici, ki ležita v isti ravnini, se vedno sekata, in to na obeh straneh. Premice imajo končno dolžino. Vsota kotov v poljubnem trikotniku je vedno večja od 180⁰. Razmerje med obsegom kroga in polmerom je manjše od π.

Najbolj zanimivo pri vsej zgodbi je, da še nikomur ni uspelo določiti, katera od geometrij v našem vesolju velja. Včasih je pač treba razmišljati mnogo širše, če želiš najti rešitev. Ne sme te zavesti, če znanstveniki razpravljajo samo o navedenih treh možnostih, torej o evklidski, hiperbolični in eliptični geometriji. Narediti moraš preskok in razmišljati o četrti možnosti.

Glede na to, da je snov ustvarila prostor in ga tudi oblikuje, je geometrija v našem vesolju odvisna od količine snovi v njem. Vprašanje oblike prostora je povezano s povprečno gostoto snovi v njem. Na prvi pogled je zanimiva eliptična geometrija, pri kateri ni vzporednic in ima premica končno dolžino. Če upoštevamo, da se je naše vesolje začelo kot zelo majhno, prav to dejstvo pomeni, da imajo tudi vse premice svoj začetek, zato ne morejo biti vzporedne. Kakor pri eliptični geometriji bi se lahko vse premice v našem vesolju začele v eni začetni točki. Vendar ima eliptična geometrija tudi eno pomanjkljivost: kot vidimo na sliki, nas na drugi strani spet vodi do ene točke, torej pelje k popolnemu sesedanju vesolja.

Obstaja torej možnost, da nastane vesolje, v katerem velja eliptična geometrija, a tako vesolje se na koncu sesede samo vase. Ker naše vesolje še kar traja in raste, je ta možnost torej manj verjetna. Znanstveniki jo sicer pospešeno raziskujejo, a se nam vsem zdi nekako neprijetna, navdaja nas z občutkom nelagodja. Pomislim, da bi se ji bilo dobro izogniti.

Če pa pogledam sliko, ki prikazuje dve vzporedni premici v hiperbolični geometriji, lahko ugotovim, da se v tem primeru začetek vesolja in velikega poka ne vidi. Ne obstaja začetek. 

Če se še enkrat vrnem k sliki, potem nam postane tudi jasno, zakaj so ljudje več kot dva tisoč let verjeli, da obstaja samo evklidska geometrija. V tem času so ljudje hkrati verjeli, da je vesolje večno in se ne spreminja. Večno neskončno vesolje se sklada z evklidsko geometrijo. 

Einsteinova splošna teorija relativnosti je prva pokazala, da vesolje ne more biti statično, ampak se v resnici širi. Ker pa je v času nastanka splošne teorije relativnosti veljalo vsesplošno prepričanje, da je vesolje statično, je to tako zavedlo Einsteina, da je v svoje enačbe vstavil nekakšno kozmološko konstanto, s katero je vesolje naredil statično. Šele pred manj kot sto leti so ljudje z opazovanjem drugih zvezd in galaksij ugotovili, da se vesolje širi. Pokazalo se je, da je bila napoved splošne teorije relativnosti pravilna.

V evklidski geometriji je obseg kroga enak 2πr, če je r polmer kroga. Jasno nam je, da je vsota notranjih kotov trikotnika 180⁰ oziroma π radianov. Krog ima 360⁰ oziroma 2π radianov. A v običajnem vsakdanjem življenju imamo vedno opravka samo s »premicami«, ki so bolj podobne daljicam: vedno so končne. Lahko si zamislimo dve premici, ki imata skupno pravokotnico tako kot na zgornji sliki, in pomislimo, kaj bi se z njima zgodilo na neki zelo dolgi razdalji, kot če bi ju usmerili in podaljšali do Lune. 

Ali bi lahko izmerili, če bi se razdalja med premicama na razdalji do Lune zmanjšala za kakšen milimeter? Že s tem bi imeli velike težave. Zato je evklidska geometrija na Zemlji tako uporabna. A velikost vesolja je ogromna in v vesoljskem merilu bi geometrija lahko bila hiperbolična ali eliptična. Morda pa obstaja še kakšna možnost?

Zdaj velja v matematiki pravilo, da se za vse normalne račune v zemeljskem merilu uporablja evklidska geometrija, pri preučevanju vesolja pa kozmologija upošteva možnost, da je geometrija prostora lahko tudi hiperbolična ali eliptična. Vrsta geometrije namreč precej vpliva na tolmačenje rezultatov meritev v vesoljskem merilu.