Temelje geometrije, ki se še danes poučuje v šolah, je pred več kot 2000 leti zapisal Evklid v svoji knjigi Elementi. V njej je opredelil osnovne geometrijske pojme, kot so točka, daljica, premica, koti, geometrijski liki in mnogokotniki, ter zapisal pravila in postulate, ki predstavljajo temelj celotne geometrije. Posebno zanimiv je peti postulat o vzporednicah, ki je stoletja buril duhove matematikov in kasneje pripeljal do razvoja povsem novih, neevklidskih geometrij.

Znameniti peti postulat pravi, da v primeru, da imamo premico in točko v ravnini, potem obstaja natanko ena vzporednica k premici, ki gre skozi to točko. Lahko pa ta peti postulat povemo še drugače: vsota notranjih kotov trikotnika je natančno 180⁰. Ker je obseg kroga 2πr, je polovica kroga natanko π radianov oziroma 180⁰. Ker je π število, ki ima neskončno neurejenih decimalnih mest, se vse zelo zaplete. Evklidska geometrija zahteva neskončno natančnost, ki je v našem končnem vesolju ni mogoče zagotoviti. Ko se računa s približki, v našem vesolju prihaja do zaokrožanja. Za zaokrožanje veljajo natančna pravila. Evklidska geometrija z neskončno natančnostjo in števili z neskončno decimalkami lahko torej velja le v matematičnem vesolju.

Katera geometrija torej velja v našem končnem vesolju? Poleg evklidske geometrije obstajata tudi hiperbolična in eliptična geometrija, vsaka z svojimi značilnostmi. Znanstveniki so odkrili, da je snov tista, ki naredi in oblikuje prostor. Od povprečne gostote snovi v vesolju je torej odvisno, kakšna geometrija vlada v našem vesolju. Primerjajmo vse tri geometrije!

Evklidsko geometrijo torej določa znameniti peti postulat, ki pravi, da v primeru, da imamo premico in točko v ravnini, potem obstaja natanko ena vzporednica k premici, ki gre skozi to točko. Premici, ki imata skupno pravokotnico:

• sta v hiperbolični geometriji vzporedni (se ne sekata) in se oddaljujeta druga od druge, 
• sta v evklidski geometriji vzporedni in stalno enako oddaljeni ena od druge,
• se v eliptični geometriji približujeta in tudi sekata.

Naj opomnim, da so premice seveda v vseh geometrijah ravne. Vprašanje je, kaj se v veliki oddaljenosti oziroma v neskončnosti dogaja pri dveh vzporednicah. Na sliki so prikazane kot ukrivljene zgolj zato, da bi lahko ponazorili oddaljevanje oziroma približevanje.

Pri hiperbolični geometriji lahko odkrijemo še nekaj zanimivih ugotovitev: vsota kotov v poljubnem trikotniku je manjša od 180⁰. Vzporednice niso povsod enako oddaljene druga od druge. Zato skozi dano točko T, ki ne leži na premici p, poteka več kot ena vzporednica k premici p. Razmerje med obsegom kroga in polmerom je večje od π

Pri eliptični geometriji lahko odkrijemo te lastnosti: vzporednic ni. Premici, ki ležita v isti ravnini, se vedno sekata, in to na obeh straneh. Premice imajo končno dolžino. Vsota kotov v poljubnem trikotniku je vedno večja od 180⁰. Razmerje med obsegom kroga in polmerom je manjše od π.

Najbolj zanimivo pri vsej zgodbi je, da še nikomur ni uspelo določiti, katera od geometrij velja v našem vesolju. Včasih je pač treba razmišljati mnogo širše, če želiš najti rešitev. Ne sme te zavesti, če znanstveniki razpravljajo samo o navedenih treh možnostih, torej o evklidski, hiperbolični in eliptični geometriji. Narediti moraš preskok in razmišljati o četrti možnosti.

Glede na to, da je snov ustvarila prostor in ga tudi oblikuje, je geometrija v našem vesolju odvisna od količine snovi v njem. Vprašanje oblike prostora je povezano s povprečno gostoto snovi v njem. Na prvi pogled je zanimiva eliptična geometrija, pri kateri ni vzporednic in ima premica končno dolžino. Če upoštevamo, da se je naše vesolje začelo kot zelo majhno, prav to dejstvo pomeni, da imajo tudi vse premice svoj začetek, zato ne morejo biti vzporedne. Kakor pri eliptični geometriji bi se lahko vse premice v našem vesolju začele v eni začetni točki. Vendar ima eliptična geometrija tudi eno pomanjkljivost: kot vidimo na sliki, nas na drugi strani spet vodi do ene točke, torej pelje k popolnemu sesedanju vesolja.

Obstaja torej možnost, da nastane vesolje, v katerem velja eliptična geometrija, a tako vesolje se na koncu sesede samo vase. Ker naše vesolje še kar traja in raste, je ta možnost torej manj verjetna. Znanstveniki jo sicer pospešeno raziskujejo, a se nam vsem zdi nekako neprijetna, navdaja nas z občutkom nelagodja. Pomislim, da bi se ji bilo dobro izogniti.

Če pa pogledam sliko, ki prikazuje dve vzporedni premici v hiperbolični geometriji, lahko ugotovim, da se v tem primeru začetek vesolja in velikega poka ne vidi. Ne obstaja začetek. 

Če se še enkrat vrnem k sliki, potem nam postane tudi jasno, zakaj so ljudje več kot dva tisoč let verjeli, da obstaja samo evklidska geometrija. V tem času so ljudje hkrati verjeli, da je vesolje večno in se ne spreminja. Večno neskončno vesolje se sklada z evklidsko geometrijo. 

Einsteinova splošna teorija relativnosti je prva pokazala, da vesolje ne more biti statično, ampak se v resnici širi. Ker pa je v času nastanka splošne teorije relativnosti veljalo vsesplošno prepričanje, da je vesolje statično, je to tako zavedlo Einsteina, da je v svoje enačbe vstavil nekakšno kozmološko konstanto, s katero je vesolje naredil statično. Šele pred manj kot sto leti so ljudje z opazovanjem drugih zvezd in galaksij ugotovili, da se vesolje širi. Pokazalo se je, da je bila napoved splošne teorije relativnosti pravilna.

V evklidski geometriji je obseg kroga enak 2πr, če je r polmer kroga. Jasno nam je, da je vsota notranjih kotov trikotnika 180⁰ oziroma π radianov. Krog ima 360⁰ oziroma 2π radianov. A v običajnem vsakdanjem življenju imamo vedno opravka samo s »premicami«, ki so bolj podobne daljicam: vedno so končne. Lahko si zamislimo dve premici, ki imata skupno pravokotnico tako kot na zgornji sliki, in pomislimo, kaj bi se z njima zgodilo na neki zelo dolgi razdalji, kot če bi ju usmerili in podaljšali do Lune. 

Ali bi lahko izmerili, če bi se razdalja med premicama na razdalji do Lune zmanjšala za kakšen milimeter? Že s tem bi imeli velike težave. Zato je evklidska geometrija na Zemlji tako uporabna. A velikost vesolja je ogromna in v vesoljskem merilu bi geometrija lahko bila hiperbolična ali eliptična. Morda pa obstaja še kakšna možnost? Zdaj velja v matematiki pravilo, da se za vse normalne račune v zemeljskem merilu uporablja evklidska geometrija, pri preučevanju vesolja pa kozmologija upošteva možnost, da je geometrija prostora lahko tudi hiperbolična ali eliptična. Vrsta geometrije namreč precej vpliva na tolmačenje rezultatov meritev v vesoljskem merilu.

Preden nadaljujem, bi rad povedal še eno zgodbo. V njej bo pojasnjeno, kakšne možnosti v našem primeru še obstajajo. Zgodba govori o majhnem otroku. Lepo ga je opazovati, ko se prvič postavi na noge, naredi prve korake in shodi. Gibanje otroku največ pomeni. Na nek način si izbori nekaj neodvisnosti. Ko smo veliki, pozabimo, kakšne težave nam je v začetku povzročala hoja. Ko pomislim na prve korake, pomislim na umetnost. Pokončna hoja je prava umetnost lovljenja ravnotežja: težo prenašamo z ene noge na drugo. In pri hoji morajo sodelovati tudi roke – prava umetnost gibanja!

Eno najlepših daril, ki jih lahko dobi otrok, je kolo. To odpira možnost za novo obliko gibanja. Včasih so bila vsa otroška kolesa opremljena s pomožnimi kolesci. Potem pride dan, ko si otrok zaželi, da bi se sam brez vseh pomoči vozil s kolesom. Dokler je kolo pri miru, se vedno nagiba v eno ali drugo stran. Namesto pomožnih kolesc si otrok pomaga z nogami. Enako je tudi, ko odrasli vozimo kolo: enkrat je kolo nekoliko nagnjeno v eno stran, drugič v drugo. A dokler se vozimo na kolesu, držimo ravnotežje. Po večletnih izkušnjah nagibanja sploh ne opazimo. Kolo vozimo tako dobro, da je videti, kakor da se pomika naravnost naprej. Vsa nihanja v desno in levo smo kar najbolj zmanjšali. Lahko pa opazujemo profesionalne kolesarje, ki v ciljnem sprintu tekmujejo, kdo bo prvi prišel v cilj. Njihovo kolo v tem primeru nenehno niha z leve na desno in nazaj. Hitreje ko gredo, bolj kolo niha levo in desno. Večja hitrost pomeni večje nihanje kolesa.

Kaj se zgodi, ko se ob koncu vožnje s kolesom ustavimo? Vsekakor se kolo nagne na eno stran. Če je kolo samo, ga moramo prisloniti, da ne pade. Samo pri enakomerni vožnji gre kolo naprej in je nihanja v eno ali drugo stran zelo malo. Einstein je ugotovil, da nekaj podobnega velja tudi za naše vesolje. Enačbe splošne relativnosti so mu pokazale, da se mora naše vesolje večati ali manjšati. Ne more biti statično, mora se spreminjati.

Zdaj se lahko vrnem k naši zgodbi: če v neskončnem matematičnem vesolju kraljuje evklidska geometrija, kaj torej kraljuje v našem končnem vesolju? Moram pomisliti na vožnjo s kolesom. Evklidska geometrija je idealna, vendar zahteva neskončno matematično vesolje in neskončno natančnost. Je nekaj takega kot enakomerna vožnja s kolesom naravnost naprej brez kakršnega koli nagibanja. Ker poganjanje kolesa s pedali povzroča nihanje kolesa, je najbolje uporabiti električno kolo. Tako odpravimo nihanje.

V končnem vesolju je nemogoče zagotoviti neskončno natančnost, zato lahko pričakujemo, da se bo zgodilo nekaj takega kakor pri vožnji s kolesom. Če bi kolo poganjali samo z eno nogo, bi se to nagnilo na eno stran in nato padlo po tleh. Če bi v končnem vesolju obstajala samo eliptična geometrija, bi se dve vzporednici hitro spet združili v eni točki, vesolje pa bi izginilo. 

Če bi obstajala samo hiperbolična geometrija, bi se dve vzporednici oddaljili, razdalja med njima pa bi se samo še povečevala. V takem vesolju pa imamo že začetno težavo, ko samo pomislimo, kako bi se tako vesolje začelo.

Vemo, da o tem, kakšna geometrija vlada v našem vesolju, odloča gostota snovi v njem. Snov pa je sestavljena iz delcev. Naše vesolje ima končno število delcev, ki pa se nenehno povečuje, kar omogoča, da vesolje raste. Ko raste, se nenehno spreminja število delcev. Glede na velikost našega vesolja in števila delcev v njem bi lahko sklepali, da se dandanes odklon od evklidske geometrije čuti nekje na devetdeseti decimalki. Na sami Zemlji tega odklona sploh ne moremo izmeriti. 

Pri nastanku vsakega delca se zgodi nekaj presenetljivega: pride do zaokrožanja. Delec lahko nastane, čeprav za nastanek ni bilo dovolj energije – v tem primeru si nekaj energije sposodi. To pa pomeni, da je kdaj v vesolju za malenkost preveč ali za malenkost premalo delcev. Obstaja torej nihanje od preveč do premalo in nazaj. Lahko celo pomislim, da je to nihanje odvisno od tega, ali je v vesolju liho ali sodo število delcev. Vse to pa odpira novo možnost. Če je geometrija našega vesolja odvisna od števila delcev v njem, potem lahko prehaja od eliptične do hiperbolične geometrije in nazaj. V začetku bi lahko bila eliptična geometrija, naslednji trenutek bi bila hiperbolična geometrija in tako naprej, vse z namenom lovljenja ravnotežja, kot je značilno za vožnjo s kolesom: najprej je nagib na eno stran, nato sledi nagib na drugo stran. Ko pogledamo zgodovino našega vesolja, lahko ugotovimo, da sta se v preteklosti eliptična geometrija in hiperbolična geometrija verjetno izmenjevali med seboj. To je torej tista dodatna možnost, ki omogoča, da naše vesolje še obstaja. Da sta se obe geometriji izmenjevali, lahko ugotovimo tudi iz hitrosti njegovega širjenja: takrat ko v našem vesolju vlada hiperbolična geometrija, se vesolje širi pospešeno.

O tem, kako lahko prihaja do izmenjevanja eliptične in hiperbolične geometrije, lahko izvemo, ko opazujemo, kako v našem vesolju nastajajo približki iracionalnim številom. Poglejmo, kako je videti zapis prvih stotih decimalk števila π:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

Če bi sklepali iz zapisa števila π v desetiškem sistemu, bi bil prvi približek številu π kar 3. Potem bi si sledili približki 3,1, pa 3,14 in 3,142. Pri devetdesetem približku bi imeli zaokrožitev navzdol, zaokrožitev navzdol pa bi bila tudi pri naslednjih štirih približkih. Vendar naše vesolje ni zgrajeno na desetiškem sistemu. V njem delec je ali pa ga ni. V tem vesolju torej obstaja končno število vseh delcev. Kakšna geometrija velja v našem vesolju, lahko torej izvemo, če ugotovimo, kako se je v našem vesolju zaokrožilo število π. Če je zaokroženo navzdol, potem vlada eliptična geometrija, če je zaokroženo navzgor, pa vlada hiperbolična geometrija.

Ko opazujemo, kaj se dogaja v našem vesolju, ne smemo spregledati še ene možnosti. Ko opazujemo profesionalne kolesarje med sprintom, ko ti dosegajo velike hitrosti, se lahko zgodijo tudi padci. Pri velikih hitrostih začne kolo spet močneje nihati v obe smeri. Vsaka najmanjša napaka kolesarja lahko privede do padca. Kolo se čisto nagne na eno stran.

Če to prevedem: ko opazujemo pospešeno širjenje vesolja, obstaja možnost, da je prevladala ena od obeh možnih geometrij, v tem primeru verjetno hiperbolična geometrija. Pride lahko do prevelikega odmika od evklidske geometrije, ko ravnovesja ni več mogoče vzpostaviti.

 

Odlomek je iz knjige Teorija vsega – Einsteinov trikotnik in dve vesolji, avtor Darko Šifrer, Založba Kalejdoskop, 2024.