Zakaj nam vprašanje neskončnosti prinaša nerešljive težave? Najprej lahko ugotovimo, da ni težava le neskončnost, ampak tudi neskončna deljivost ali pa neskončna hitrost, neskončna oddaljenost, neskončno število korakov, skratka vse, kar je povezano s številom, ki mu pravimo neskončnost. Pri tem je zelo zanimivo, da so ljudje neskončnost odkrili pred odkritjem števila nič. 

Aristotel je dolga stoletja veljal za avtoriteto. Uvedel je razliko med aktualno in potencialno neskončnostjo. Neskončnost je enačil z neurejenostjo, ker se je ne da dokončno definirati. Potencialno neskončnost pa je ponazoril s primerom. Obstaja možnost, da bo živelo še neskončno rodov, a to je samo potencialna neskončnost. To, kar se na koncu uresniči, je vedno končno število. Z definicijo potencialne neskončnosti je Aristotel naredil velik korak k razumevanju vesolja. Čeprav danes veliko ljudi govori o našem neskončnem vesolju, pa v resnici v njem obstaja le potencialna neskončnost. Tej potencialni neskončnosti nečesa danes raje rečemo, da je nekaj neomejeno. Neomejeno pa seveda ni neskončno. Tudi naravnih števil je neomejeno. Ni najvišjega števila. Če bi to obstajalo, bi mu prišteli število ena in bi dobili večje število. Število neskončnost pa je nekaj posebnega. Tudi če bi ga povečali za število ena, ne bi bilo nič večje.

Z neskončnostjo se je spopadel tudi Zenon. Nadaljeval je delo svojega učitelja Parmenida ter uporabo razuma prenesel na različna področja. Učil je o tem, da so vse stvari le različni vidiki ene same resničnosti, ki se imenuje bivanje; da je vse eno. Ta ideja je tudi danes še vedno prisotna. Zenonu je uspelo idejo predstaviti z vrsto paradoksov, pri čemer je prikazoval, da delitev ene celote na neskončno delov ni smiselna. Njegov najbolj znan paradoks je tisti o Ahilu in želvi: če obstaja neskončno delitev, potem lahko vsako razdaljo razdelimo na neskončno delov, pri čemer je vsak naslednji del nekoliko manjši. En način delitve je, da razdaljo najprej razdelimo na polovico, pa polovico spet na polovico, potem razdelimo še četrtino na polovico in tako naprej. Če obstaja neskončna deljivost, lahko torej razdaljo razdelimo na neskončno delov. Ker mora Ahil preteči vsak del posebej, bi trajalo neskončno časa, da bi prišel do želve – to nas pripelje do protislovja. Dejansko je Zenon tako pokazal, da mora obstajati tista najmanjša razdalja, tisto eno, česar se ne da več razdeliti.

Na tem mestu se lahko spomnimo sodobnih paradoksov, ki še vedno begajo znanstvenike. Tudi vsi »dandanašnji paradoksi« so nekako povezani z neskončnostjo, neskončno deljivostjo in neskončno hitrostjo. Kakor da bi že pred mnogimi leti Zenon slutil, da so s pojmom neskončnosti povezane številne težave! Kakor da bi že on takrat pred mnogo stoletji hotel povedati, da se težav z neskončnostjo lahko rešimo le, če privzamemo, da obstaja najmanjši delec, najmanjša razdalja, najkrajši trenutek!

Zenon je v svojem času zaslovel, znano pa je tudi, da je obiskal Atene in se srečal z mladim Sokratom. To pa je bilo zame odlično izhodišče, da se je v mojih mislih zvrstila zgodba o srečanju med Zenonom in mladim Sokratom. 

V tej zgodbi je Zenon Sokratu pripovedoval o svojih paradoksih. Ko je končal pripoved o paradoksu z Ahilom in želvo, je sklenil z mislijo, da Ahil pač ni mogel ujeti želve. Sokrat je samo nemo poslušal. Vse, kar mu je pripovedoval Zenon, se je zdelo zelo smiselno. Zakaj torej v resnici lahko želvo ujamemo, če je niti hitri Ahil ni mogel ujeti? Nekaj časa je trajal trenutek tišine. Potem pa je nastopil trenutek, ko je Sokrat izgovoril svoje znamenite besede: »Vem, da nič ne vem.« 

Za razumevanje paradoksov je potreben čas za razmislek. Na začetku nastane v glavi samo zmeda. Je pa to pravi trenutek, da se lahko izgovorijo znamenite besede: »Vem, da nič ne vem.« Morda lahko v tem stavku zaznamo tudi sledi matematike. Če je vsega znanja res neskončno, sam pa vem le nekaj od tega, potem je rezultat deljenja mojega znanja s celotnim znanjem kar nič. Moje znanje je v primerjavi z neskončnim znanjem nič.

Srečanje z Zenonom je mlademu Sokratu vtisnilo neizbrisen pečat. Postal je mojster dialoga, razvil je dialektično metodo, ki je po njem dobila ime Sokratova metoda. Pri tej metodi učitelj vodi učenca do točke, ko učenec sam sebe pripelje v protislovje. Morda se je ta zgodba razpletla le v mojih mislih, vendar dejstva ostajajo. Sokrat je na svoj način nadaljeval Zenonovo delo.

Če so bile te prve težave, ki so jih ljudje imeli s pojmom neskončnosti, še obvladljive, pa so se prave težave pokazale, ko so ljudje poskusili neskončnosti med seboj primerjati. Ne gre več za primerjavo aktualne in potencialne neskončnosti, ampak za dejstvo, da se tudi neskončnosti med seboj lahko razlikujejo. Pokazalo pa se je še nekaj: števila lahko med seboj primerjamo, če pa primerjamo med seboj navadne neskončnosti, lahko ugotovimo, da med seboj niso primerljive. Če jih med seboj poskušamo primerjati, potem nas to privede do protislovja.

Spomnim se samo na hotel, v katerem bi bilo neskončno sob. Za običajne hotele, ki imajo končno število sob, lahko ugotovimo, kdaj so v celoti zasedeni in kdaj se še da dobiti prosto sobo. Če pa si zamislimo hotel z neskončno sobami, ne moremo vedeti, ali je polno zaseden ali ne.

Tudi če bi bile vse sobe v hotelu z neskončno sobami zasedene, bi iznajdljiv gost še vedno lahko dobil prosto sobo: prositi bi moral receptorja, da gosta iz prva sobe premakne v drugo sobo, gosta iz druge sobe v tretjo in tako naprej. Tako bi se zanj sprostila prva soba. 

Zgodilo pa bi se lahko tudi nekaj drugega: gost, ki bi imel rezervirano prvo sobo, bi zamudil. Receptor bi tako gosta iz druge sobe nastanil kar v prvi sobi, gosta iz tretje sobe v drugi sobi in tako naprej. Ko bi gost, ki je imel rezervirano prvo sobo, prišel v hotel, bi lahko le ugotovil, da so vse sobe zasedene, čeprav je bilo rezervacij natanko toliko kakor sob, torej neskončno. Kot vidimo pri pojmu neskončnost, ena več ali ena manj ne pomeni nekaj takega, kar bi pričakovali, ampak samo odpira pot do protislovja.

Z neskončnostjo in konceptom neskončno majhne količine se je ukvarjal tudi Arhimed, ki je s pomočjo metode izčrpavanja takole izračunal približek števila π: 3,1409 < π < 3,1428. Arhimed je bil prvi, ki se je spopadel z neskončnostjo, z neskončno vrsto in neskončno deljivostjo. Bil je prvi, ki je izračunal vrednost geometrijske vrste. Izbral je geometrijsko vrsto s količnikom ¼, torej vrsto, pri kateri se vsak naslednji člen zmanjša za štirikrat. Poglejmo to vrsto s količnikom k = 1/4:

1, 1/4 , 1/16, 1/64, 1/256, 1/1024 …

Arhimed je izračunal vsoto te neskončne vrste in dobil rezultat 4/3. 

Izračun take vrste je v resnici zelo preprost, ko ga enkrat odkriješ. Če to neskončno vrsto pomnožimo s faktorjem 1 − k, kar je v našem primeru kar 1 − 1/4, dobimo ravno 1. Kot vidimo, se vsi členi razen prvega izničijo:

(1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …) · (1 – 1/4) = 1 

Vsota neskončne vrste je torej v našem primeru 1/(1 − 1/4), kar je res štiri tretjine (4/3).

Arhimed je tako prišel do odgovora, koliko znaša vsota neskončne geometrijske vrste, če se vsak naslednji člen zmanjša za faktor k, ko je k manjši od 1. S tem pa je prišel tudi do odgovora na vprašanje, ali lahko Ahil ujame želvo. Ne le da je odgovor našel, izračunal je tudi, kdaj ujame želvo. Če je tako želva od Ahila oddaljena 90 metrov in teče Ahil štirikrat hitreje od nje, jo bo ujel natanko po 120 metrih. Ko bo namreč Ahil pretekel 120 metrov, bo želva pretekla 30 metrov. 

Arhimed je torej prvi razrešil Zenonov paradoks o Ahilu, ki lovi želvo. Pokazal je, da ljudje lahko rešujemo tudi nekatere probleme, v katerih nastopa neskončnost. Lahko rešujemo celo nekatere probleme, v katerih nastopa neskončna deljivost. 

Ker je naš svet sestavljen iz končno mnogo delcev, se za reševanje problemov, povezanih z neskončnostjo, odpravimo v svet matematike oziroma matematičnega vesolja, ki ga je Platon imenoval svet idej. Nadaljevanje si lahko preberete v knjigi Teorija vsega: Einsteinov trikotnik in dve vesolji.