Srednjeveški matematik Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250), doma iz Pise v današnji Italiji, je znan predvsem po tem, da je v Evropo vpeljal indijsko-arabski številski zapis, ki je bistveno olajšal računske operacije. Ker je bil novi zapis praktičen, so ga hitro sprejeli v trgovskih krogih, ki so prav takrat ponovno doživljali razcvet. Med problemi, s katerimi se je ukvarjal Fibonacci, je bila tudi zanimiva vrsta števil, ki jo danes imenujemo Fibonaccijevo zaporedje. Zanimalo ga je, kako hitro bi se lahko v idealnih okoliščinah razmnoževali zajci. Do kakšnih ugotovitev je prišel?
Po prvem mesecu se prvi par že pari, vendar je v kletki še vedno le en par. Na koncu drugega meseca samica povrže nov par zajcev, tako da sta sedaj v kletki 2 para. Ob koncu tretjega meseca prvotna samica skoti svoj drugi par, druga samica pa še ni spolno zrela. V kletki so 3 pari zajcev. Po štirih mesecih dve samici, prva in druga povržeta nova para tako, da je sedaj 5 parov zajcev. Število parov narašča v naslednjem zaporedju: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … Čez eno leto bo v kletki 233 parov zajcev. Seveda je ob tem izračunu Fibonacci upošteval nekaj napačnih predpostavk.
Števila, ki jih pri tem izračunu dobimo, tvorijo tako imenovano Fibonaccijevo zaporedje, ki ga lahko povzamemo z naslednjo formulo:
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
Vsak naslednji člen je vsota prejšnjih dveh členov zaporedja, začetna člena zaporedja pa sta 0 in 1. Fibonaccijevo zaporedje je presenetljivo povezano z razmerjem zlatega reza, s številom
Φ = 1,618034 (zaokroženo na 6 decimalnih mest).
Če pogledamo razmerje med sosednjimi členi zaporedja opazimo, da razmerje konvergira proti določeni vrednosti, ki ji pravimo zlato razmerje: približno 1,618034… Temu številu pravimo tudi zlati rez, zlato število, ki je predstavljeno z veliko grško črko Φ.
Fibonacci je do svojega zaporedja prišel direktno iz narave, seveda pa je upošteval določene nerealne predpostavke kot na primer to, da zajklje skotijo vsak mesec natanko en par zajčkov. Razmerje med zaporednima številoma Fibonaccijevega zaporedja se približa zlatemu rezu. Tako je zlati rez neposredno povezan z naravo.
Pri tem pa lahko opazimo naslednje. V naravi prihaja do zaokrožanja. Vse, kar nastane v našem vesolju, je posledica zaokrožanja. V našem vesolju ni neskončnosti, ni neskončne deljivosti, ne obstaja neskončna hitrost. Tako so tudi števila v Fibonaccijevem zaporedju naravna števila.
Kako pa je v matematiki, v matematičnem vesolju?
V matematiki seveda obstaja neskončnost, pa tudi neskončna deljivost. Vsako daljico lahko poljubno-krat razpolovimo. Preden se nekaj pojavi v našem vesolju, ki je sestavljeno iz končnega števila delcev, mora priti do zaokrožanja.
Kako poteka zaokrožanje, ko ideje iz matematičnega vesolja vstopajo v naše vesolje, nam lepo ponazori kar Fibonaccijevo zaporedje. Seveda se mi je najprej postavilo vprašanje, ali tudi v svetu idej oziroma v matematičnem vesolju, v katerem obstaja neskončnost in neskončna deljivost, obstaja takšno matematično Fibonaccijevo zaporedje, pri katerem velja:
– obstaja člen, ki ga imenujemo ϕ0
– razmerje med dvema členoma zaporedja je vedno natanko ϕ
– vsak naslednji člen dobimo, če prejšnji člen pomnožimo s številom ϕ;
– vsak naslednji člen je vsota prejšnjih dveh členov.
Preprosto bi ti dve pravili zapisali:
ϕn = ϕn-1 + ϕn-2
ϕn = ϕ . ϕn-1 = ϕ0 . ϕn
Pravo matematično Fibonaccijevo zaporedje dobimo, ko velja:
ϕ0 = √(1/5)
ϕ = (1+√5)/2
Kot približka tako dobimo:
ϕ0 = 0,447213595499958…
in
ϕ = 1,61803398874989…
Poglejmo, kako se števila iz matematičnega Fibonaccijevega zaporedja, zaokrožena na 15 decimalnih mest, zaokrožijo v našem vesolju:
Ko člene matematičnega Fibonaccijevega zaporedja zaokrožimo, je rezultat kar ljudem poznano Fibonaccijevo zaporedje. Kot vidimo, se razlike med obema zaporedjema zelo hitro zmanjšujejo. Rezultati so presenetljivi. Obstaja pravo matematično Fibonaccijevo zaporedje, ki je določeno z enostavnima praviloma: vsak naslednji člen je vsota prejšnjih dveh ter vsak naslednji člen dobimo, če prejšnjega pomnožimo s številom ϕ.
Pomislil sem še na prav posebno število ϕ0.
ϕ0 = √(1/5) = 0,447213595499958…
V matematičnem vesolju oziroma v svetu idej obstaja tako število, kot je kvadratni koren iz 1/5. V našem vesolju se mora to število zaokrožiti, saj ne obstaja neskončno decimalk. In ko ideje iz sveta idej vstopajo v naše vesolje, prihaja do zaokrožanja.
Neskončna deljivost omogoča, da ima matematično Fibonaccijevo zaporedje pred členom ϕ0 še neskončno členov. Pri zaokrožitvi pa vsi ti členi dajo zaokroženo vrednost 0.
Vidim, da si v mislih lahko oblikujem popolno matematično Fibonaccijevo zaporedje. Vse člene tega zaporedja lahko zapišem s simboli, ki jih uporabim za ϕ0 in ϕ. Vendar imajo vsi členi tega zaporedja, če jih hočem zapisati s številkami, neskončno decimalk. Lahko jih zapišem na primer s petnajstimi decimalkami natančno, a še vedno bom imel samo približek.
Lahko pa ugotovim nekaj drugega. Fibonaccijevo zaporedje se v naravi pojavlja tam, kjer ga pravzaprav ne bi pričakoval. Fibonacci je govoril o številu zajčjih parov, poznana je zgodba o zvončkih, ali pa zgodba s številom listov, ki jih imajo marjetice. Vidim, da v naravi prihaja do zaokrožanja na cela števila. Tako bo v našem vesolju, ki zaokroža, en marjetičin list malo večji, kadar zaokrožimo navzdol, ali pa malo manjši od ostalih, kadar zaokrožimo navzgor.
Matematično Fibonaccijevo zaporedje je bilo prvič izračunano in objavljeno v knjigi Teorija vsega: Vse skrivnosti vesolja, Darko Šifrer, Založba Kalejdoskop, december 2022.